方法を色々と調べてみたのだけど、結論としてはIMAPフォルダーに直接コピーする方法が一番よさそう。
IMAPからみるとGmailのラベルはフォルダーになっているようなので、Inboxと好きなラベル(Mobame)に2つコピーをしている。あとは念のためローカルにもコピー。
ドコモが自動転送をサポートすれば何の問題もないのだけど。あるいはモバメが好きなメールアドレスを使わせてくれれば。
補足
Thunderbirdから転送をすると、Fwd:（件名）みたいなsubjectになったり、差出人が自分の名前になったりしてイマイチ。
公式の拡張機能としてヘッダーをそのままリダイレクトするものもあるけど、どうにも癖があって期待通り動かなかったりする。たぶんSMTPサーバーの動きによるものだと思う。
